ベクトルの重要な概念に「内積」というものがあります。成分表示した２つのベクトルｐ＝（ｘ_１，ｙ_１）とｑ＝（ｘ_２、ｙ_２）の内積を、ｘ_１ｘ_２＋ｙ_１ｙ_２で定義します。空間ベクトルでは、これにｚ成分同士をかけたものが加わるだけです。表示法として、ｐとｑの内積をｐ・ｑと記します。
注意してほしいのは、内積は２つのベクトルから数を導くものだということです。つまり、内積はベクトルではありません。

内積が便利なのは、内積が２つのベクトルの角度の関係を表しているからです。ベクトルｐ＝（ｘ１，ｙ１）、ｑ＝（ｘ２、ｙ２）とすると、ｐとｑのなす角がθのとき、ｐ・ｑ＝｜ｐ｜｜ｑ｜cosθ　という関係式が成立します。特に、ｐとｑが直交しているときは、cosθ＝０なので、ｐ・ｑも０になります。このため、直角と内積は相性がよく、直角の絡む問題ではしばしば内積が用いられます。

また、内積には普通の掛け算のような性質も成り立ちます。たとえば
ｐ・ｑ＝ｑ・ｐ
（ｐ＋ｑ）・ｒ＝ｐ・ｒ＋ｑ・ｒ
が成立します。他の性質としては
｜ｐ＋ｑ｜^２＝｜ｐ｜^２＋２ｐ・ｑ＋｜ｑ｜^２
が成り立ちます。

2番目の式は、わからないベクトルとの内積を、わかる内積に帰着させることができます。たとえば、右の図でAB・ACとAB・ADが与えられていて、ABとDCの間の内積を求めたいとします。その場合、DC=ーAD+ACなので、2番目の式を用いてAB・DC＝AB・（ーAD+AC）＝ーAB・AD＋AB・AC、として、わかる内積の値を用いて表すことができます。

3番目の式は、３辺の長さが分かっている三角形で、辺をベクトルとみた際の、辺同士の内積を求めるときに用います。たとえば、右の図で、３辺がすべて与えられているならば、内積AB・ACは、３番目の式｜CB｜^２＝｜ABーAC｜^２＝｜AB｜^２ー２AB・AC＋｜AC｜^２ となり、ここから求めることができます。

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