今回は、ベクトルの知っていると計算が速くなる、あるいは答えがぱっとだせるような公式・知識を教えていきたいと思います。

まず、頻出問題として、たとえば右図で3PA+4PB+6PC=0（これらはすべてベクトルとします）のとき、三角形の面積比、△PBC:△PCA：△PABを求めさせる問題があります。
地道にベクトル計算しても出せますが、とりあえず答えだけ出せばよいならば、以下のような公式があります。

上のような図で、ｐPA+ｑPB+ｒPC=O、ならば、△PBC:△PCA：△PAB＝ｐ：ｑ：ｒ

これは、△PAB：△PAC＝BQ:CQであり、BQ:CQは、ベクトルPBとPCの係数を逆にした比、つまりｒ：ｑ、に等しくなるからです。 （厳密な証明は各自でやってください。以後の公式も同じです）
これを知っていれば、問題文を読んで、瞬時に面積比を出すことができます。センターのような解答のみの問題ならば圧倒的な時間短縮になります。



次に、空間ベクトルで、点（ａ，ｂ，ｃ）を通り、ベクトル（ｐ、ｑ、ｒ）（これは成分表示です）に平行な直線の式を求めたいとします。この式は（ｘ－ａ）／ｐ＝（ｙ－ｂ）／ｑ＝（ｚ－ｃ）／ｒ、と表わされます。なので、直線の式を出すには、上の式に値を代入すれば一発です。

また、空間ベクトルで、点Ａ（ａ，ｂ，ｃ）を通り、ベクトル（ｐ、ｑ、ｒ）に垂直な平面の式を求めたいとします。この式は、ｐ（ｘ－ａ）＋ｑ（ｙ－ｂ）＋ｒ（ｚ－ｃ）＝０、と表わされます。なぜこのように表わされるのかというと、平面上のどの点Ｔ（ｘ、ｙ、ｚ）についても、ベクトルＡＴとベクトル（ｐ、ｑ、ｒ）は垂直になるので、この内積を計算すると０になります。そして、この内積計算の式が先ほどの平面の式なのです。



空間ベクトルでよく出題される問題として、与えられた3本のベクトルで作られる四面体の体積を求めよという問題があります。たとえば、右図でベクトルOA,OB,OCを成分表示して、この四面体の体積をの求めよ、などという問題です。
こういう問題では、ベクトルの外積を用いるのが一番早いです。
内積がベクトルとベクトルにスカラー（普通の数のこと）を対応させるものでしたが、外積というのはベクトルとベクトルにベクトルを対応させるものです。外積によって与えられるベクトルは、向きは２つのベクトルと垂直、長さは二つのベクトルで作られる平行四辺形の面積と同じ、になります。大体右図のような感じです。
ベクトルＡとＢで作られる外積は、内積（Ａ・Ｂ）と区別するためＡ×Ｂと表わします。外積のベクトルの向きは、ＡからBに回す向きが反時計まわりならば上向き、時計まわりならば下向きになります。説明が分かりにくいかもしれませんが、要するに右図のようになるということです


ベクトル（ａ，ｂ，ｃ）と（ｐ、ｑ、ｒ）で作られる外積は、成分表示すると（ｂｒ－ｃｑ、ｃｐ－ａｒ、ａｑ－ｂｐ）です。しかし、こんな文字だらけの式を覚えるのは大変です。ですが、これは行列式を用いるとこの式はすごくきれいになります。この式は行列式を用いると

とあらわせます。外積のｘ成分は、ｙ成分とｚ成分で作った行列の行列式、外積のｙ成分は・・・となっているわけです。注意してほしいのは外積のｙ成分で、これは並ぶ順番が（ｘ成分、ｚ成分）の行列ではなくて、（ｚ成分、ｘ成分）の行列になっています。ここだけ注意してください。

さて、最初の四面体の問題に戻ります。3本のベクトルＡ，Ｂ，Ｃで作られる四面体の体積は、（Ａ×Ｂ）・Ｃ／６、となります。どの外積を作るかは自由です。つまり、計算しやすいならば（Ｂ×Ｃ）・Ａ／６の方で計算しても答えは一致します。この式を知っていれば、四面体や、四面体の体積を6倍したものになる並行六面体の体積もあっという間に求めることができます。

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